Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax），其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若a=1，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，寫(xiě)出f（x），f′（x），切點(diǎn)坐標(biāo)，切線(xiàn)斜率為f′（0），由點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程；
（II）求出函數(shù)定義域，導(dǎo)數(shù)f′（x），分a＞0，a＜0兩種情況進(jìn)行討論：解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，f′（0）=-2，
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程y-0=-2（x-0），即y=-2x．
（II）f（x）的定義域?yàn)镽，則+（x²-2ax）=，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由＞0，得x²-2a²＞0，解得x＜-a或x＞a，
由＜0，得x²-2a²＜0，解得-a＜x＜a，
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（a，+∞），減區(qū)間為（-a，a）；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由＞0，得x²-2a²＜0，解得a＜x＜-a，
由＜0，得x²-2a²＞0，解得x＜a或x＞-a，
故f（x）的增區(qū)間為（a，-a），減區(qū)間為（-∞，a），（-a，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．