(1)如下圖所示,設(shè)AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的異面直線段,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),求證:MN∥α.

(2)在本例中,若AB、AE是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的兩條相交線段,且M、N分別為AB、AE的中點(diǎn),如何證明MN∥α?

答案:
解析:

  (1)證法一:過點(diǎn)A作AE∥CD,交α于點(diǎn)E,∵α∥β,則AECD,即AEDC為平行四邊形.

  設(shè)P為AE的中點(diǎn),連結(jié)PN、PM、BE,則PN∥ED,MP∥BE.

  又∵PNα,EDα,∴PN∥α.

  同理,可得PM∥α.

  又∵PM∩PN=P,∴平面PMN∥平面α.

  又MN平面PMN,∴MN∥α.

  證法二:如下圖所示,連結(jié)AD,取AD的中點(diǎn)Q,連結(jié)QM、QN,

  ∵Q、N分別為AD、CD的中點(diǎn),∴QN∥AC.

  ∵QNβ,ACβ,

  ∴QN∥β.∵α∥β,QN∥β,QNα,

  ∴QN∥α.同理可證QM∥α.

  ∵QM∩QN=Q,∴平面QMN∥α.

  ∵M(jìn)N平面MNQ,

  ∴MN∥α.

  (2)證明:連結(jié)BE,∵M(jìn)、N分別是AB、AE的中點(diǎn),

  ∴MN∥BE.

  又∵M(jìn)N平面α,BE平面α,∴MN∥平面α.

  思路分析:(1)本題考查兩個(gè)平面平行的判定方法.要證明MN∥α,由于AB、CD為異面直線,所以要在α內(nèi)找一條直線,證明它與MN平行較為困難.因此可轉(zhuǎn)化為證明過MN的一個(gè)平面與平面α平行.


提示:

本題的證法較多,解題關(guān)鍵是如何處理好條件:AB、CD是兩條異面線段.證法一實(shí)質(zhì)上是把CD在兩平行平面間沿著同一方向移到AE位置,AB和AE可確定一平面,借助于平面幾何來處理問題;證法二是借助于空間四邊形的對角線AD,把AB和CD分別放在兩相交平面內(nèi)來研究.本題還可以連結(jié)CM延長交α于點(diǎn)R,證明MN∥RD即可.


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