Question

已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

3

（c-acosB）=b（sinA+1）．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）若b=

3

，

AB

•

AC

=6，求a．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出sin（A-

π

3

）的值，進(jìn)而確定出A的度數(shù)，求出sinA的值即可；
（Ⅱ）已知等式利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則變形，將b，cosA的值代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）將

3

（c-acosB）=b（sinA+1），利用正弦定理化簡(jiǎn)得：

3

（sinC-sinAcosB）=sinB（sinA+1），
∵C=π-（A+B），∴sinC=sinAcosB+cosAsinB，
∴

3

sinBcosA=sinB（sinA+1），即sinA-

3

cosA=-1，
∴sin（A-

π

3

）=-

1

2

，
∵-

π

3

＜A-

π

3

＜

2π

3

，
∴A-

π

3

=-

π

6

，即A=

π

6

，
則sinA=

1

2

；
（Ⅱ）∵

AB

•

AC

=bccosA=6，b=

3

，cosA=

3

2

，
∴c=4，
則由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=3+16-12=7，
則a=

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．