Question

若關(guān)于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0在x∈(-

π

2

，

π

2

)時恒有解，則實數(shù)m的 取值范圍是（　�。�

• A．（0，+∞）
• B．[0，+∞）
• C．(2

  3

  -4，+∞)
• D．[2

  3

  -4，+∞)

Answer 1

分析：不等式即（4+m）cosx-cos²x-3＞0，由x∈(-

π

2

，

π

2

)，得0＜cosx≤1，令cosx=t，則m＞t+

3

t

-3 在（0，1]上恒有解，利用單調(diào)性求得當(dāng)t=1時，
f（t）=t+

3

t

-3有最小值為0，故有 m＞0．

解答：解：關(guān)于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0即 （4+m）cosx-cos²x-3＞0．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴0＜cosx≤1，故不等式即 m＞cosx+

3

cosx

-3．
令cosx=t，0＜t≤1，則m＞t+

3

t

-3．由于函數(shù) f（t）=t+

3

t

-3在（0，1]上單調(diào)遞減，故當(dāng)t=1時，f（t）有最小值為0，
由題意可得 m＞f（t） 在（0，1]上恒有解，故 m＞0．
故選：A．

點評：本題主要考查求函數(shù)的最值的方法，余弦函數(shù)的定義域和值域，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．