Question

設定義在R上的函數f（x）滿足以下兩個條件：（1）對?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立；（2）當x＜0時，（x²+2x）f'（x）≥0
則下列不等關系中正確的是（ ）
A．f（-1）≤f（0）
B．f（-2）≤f（-3）
C．f（2）≥f（0）
D．f（1）≥f（2）

Answer 1

【答案】分析：利用奇函數的定義判斷出f（x）是奇函數，通過解二次不等式判斷出x²+2x的符號，從而得到導函數f′（x）的符號，判斷出函數f（x）的單調性，利用f（x）的單調性判斷出A，B錯；利用f（x）的單調性與奇函數判斷出C錯D對．
解答：解：∵對?x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立
∴f（x）為奇函數
∵當x＜-2時，x²+2x＞0；當-2＜x＜0時，x²+2x＞0
又∵當x＜0時，（x²+2x）f'（x）≥0
∴當x＜-2時，f'（x）≥0，函數f（x）遞增或為常函數；當-2＜x＜0時，f'（x）≤0，函數f（x）遞減或為常函數
∴f（-1）≥f（0），故A錯
f（-2）≥f（-3），故B錯
f（-2）≥f（0）即-f（2）≥f（0）即f（2）≤f（0），故C錯
f（-1）≤f（-2）即-f（1）≤-f（2）即f（1）≥f（2）故D對
故選D．
點評：判斷函數的奇偶性應該利用奇函數、偶函數的定義；利用導函數的符號判斷函數的單調性：當導函數為正，函數遞增；當導函數為負，函數遞減．