Question

已知C1：x2-8x+y2+15=0，C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1，若?t∈R，使得C₁與C₂至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍

[0，

4

3

]

．

Answer 1

分析：通過(guò)兩個(gè)圓的方程求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，利用圓心距與半徑和與差的關(guān)系即可求解．

解答：解：因?yàn)閳AC1：x2-8x+y2+15=0圓心為（4，0）半徑為1的圓，
圓C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1是圓心為（t，kt-2）半徑為1的圓，
因?yàn)閮蓚�(gè)圓的半徑都是1，所以兩個(gè)圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)就是兩個(gè)圓心距小于等于2；
得出（t-4）²+（kt-2）²≤4
化簡(jiǎn)得（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0，
因?yàn)榇嬖趖∈R，使得C₁與C₂至少有一個(gè)公共點(diǎn)，只需不等式（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0有解，
不等式有解等價(jià)于拋物線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，
即△≥0，即16（2+k）²-4（k²+1）×16≥0，
解得0≤k≤

4

3

．
故答案為：[0，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，二次方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．