Question

設(shè)f（x）=

x

a(x+2)

，若f（x）=x有唯一解，且f（x₀）=

1

1006

，x_n=f（x_n-1），n∈N^*，則x₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得f（x）=

2x

x+2

，從而x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，由此能求出數(shù)列{

1

xn

}是首項(xiàng)為1006，公差等于

1

2

的等差數(shù)列．由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵f（x）=

x

a(x+2)

，f（x）=x有唯一解，
∴x=

x

a(x+2)

，解得x=0或x=

1

a

-2，
由題意知

1

a

-2=0，∴a=

1

2

，f（x）=

2x

x+2

，
∴x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，
又∵x₁=f（x₀）=

1

1006

，∴

1

x1

=1006，
∴數(shù)列{

1

xn

}是首項(xiàng)為1006，公差等于

1

2

的等差數(shù)列．
∴

1

x2011

=

1

x1

+（2011-1）•

1

2

=1006+1005=2011，
∴x₂₀₁₁=

1

2011

．
故答案為：

1

2011

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．