Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，前n項和為S_n，滿足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7，則使得

am•am+1

am+2

為數(shù)列{a_n}中的項的所有正整數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式分別化簡已知的兩等式，得到關(guān)于首項和公差的兩個方程，聯(lián)立兩方程即可求出首項和公差的值，進而得到等差數(shù)列的通項公式a_n=2n-7，利用通項公式化簡

am•am+1

am+2

，讓化簡得到的式子等于2n-7，然后設(shè)b=2m-3，代入得到到b+6+

8

b

=2n-7，根據(jù)

b

8

為偶數(shù)且b大于等于-1的奇數(shù)，即可得到b的值，利用b的值求出m的值，代入原題檢驗，即可得到滿足題意的m的值．

解答：解：由a₂²+a₃²=a₄²+a₅²得：2a₁+5d=0①，
由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄=7（a₁+3d）=7，得到a₁+3d=1②，
聯(lián)立①②，解得：a₁=-5，d=2，
所以a_n=-5+2（n-1）=2n-7，
根據(jù)題意得：

am•am+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

=2n-7，
設(shè)2m-3=b，得到b-6+

8

b

=2n-7，得到

8

b

必須為偶數(shù)，即b=-1，1，-2，2，-4，4，
又b≥-1（數(shù)列的第三項）且b為奇數(shù)，得到b=-1或b=1，
進而得到m=1或m=2，
當(dāng)m=1時，

am•am+1

am+2

=

63

5

=2n-7，解得n不為正整數(shù)，不合題意舍去，
所以滿足題意的正整數(shù)m的值為2．
故答案為：2

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡求值，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．