【題目】已知F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，.

（1）求拋物線的方程：

（2）已知為拋物線上一點，M，N為拋物線上異于P的兩點，且滿足，試探究直線MN是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.

【答案】（1） （2）過定點，

【解析】

(1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達定理即可求解出的值，即可求解出拋物線的方程；

(2)求解出點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)求解出之間的關(guān)系，從而確定出直線所過的定點.

解：（1）由已知，直線AB的方程為

聯(lián)立直線與拋物線，消y可得，，所以，

因為，所以，

即拋物線的方程為.

（2）將代入可得，

不妨設(shè)直線MN的方程為,

聯(lián)立，消x得，

則有，

由題意,

化簡可得，，

代入

此時直線MN的方程為，

所以直線MN過定點.

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【題目】已知曲線和曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度.

（1）求曲線和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線與軸、軸分別交于兩點，且線段的中點為，若射線與曲線交于點，求兩點間的距離.

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A. B. C. D.

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【題目】已知等軸雙曲線：的右焦點為，為坐標(biāo)原點，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.

（1）求等軸雙曲線的方程；

（2）若過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點，求的值；

（3）假設(shè)過點的動直線與雙曲線交于、兩點，試問：在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.

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【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時減少能源消耗，業(yè)主決定對房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料，該材料有效使用年限為20年．已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費用為每毫米厚6萬元，且每年的能源消耗費用（萬元）與隔熱層厚度（毫米）滿足關(guān)系：．設(shè)為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和．

（1）請解釋的實際意義，并求的表達式；

（2）當(dāng)隔熱層噴涂厚度為多少毫米時，業(yè)主所付的總費用最少？并求此時與不建隔熱層相比較，業(yè)主可節(jié)省多少錢？

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【題目】從某地區(qū)年齡在25～55歲的人員中，隨機抽出100人，了解他們對今年兩會的熱點問題的看法，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A. 抽出的100人中，年齡在40～45歲的人數(shù)大約為20

B. 抽出的100人中，年齡在35～45歲的人數(shù)大約為30

C. 抽出的100人中，年齡在40～50歲的人數(shù)大約為40

D. 抽出的100人中，年齡在35～50歲的人數(shù)大約為50

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