Question

已知函數(shù)f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x0）=2，x₀∈[0，

π

2

]，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)關(guān)系變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用公式求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用第一步的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)關(guān)系式中角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1+2sin2x+

3

sin2x
=1+2×

1-cos2x

2

+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x+2
=2×(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+2
=2sin(2x-

π

6

)+2
所以，f(x)的最小正周期T=

2π

2

=π
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
化簡得  kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp; f（x₀）=2，
所以2sin(2x0-

π

6

)+2=2
即 sin(2x0-

π

6

)=0
又因?yàn)?span id="uo9io4j" class="MathJye">x0∈[0，

π

2

]
所以 2x0-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
則   2x0-

π

6

=0，即x0=

π

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用三角函數(shù)的定義域求函數(shù)的角的大小．屬于基礎(chǔ)題型．