Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．
（1）在線段DC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥面DBC，若存在，求線段DF的長度，若不存在，說明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)G，連接CG，則CG⊥AB，由DB⊥平面ABC，知DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，，CG=，故CD=，，由此能夠得到存在F為CD中點(diǎn)，DF=時(shí)，使得EF⊥面DBC．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則=（2，0，1），=，．求出平面BCE的法向量和平面CDE的法向量，由向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)G，連接CG，則CG⊥AB，
∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CG，
所以CG⊥面ABDE，
所以，CG=，
故CD=，（3分）
取CD的中點(diǎn)為F，BC的中點(diǎn)為H，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190217350505784/SYS201310241902173505057018_DA/15.png">，，
所以AEFH為平行四邊形，得EF∥AH，（5分）
平面BCD
∴EF⊥面DBC
存在F為CD中點(diǎn)，DF=時(shí)，使得EF⊥面DBC．（7分）
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，
且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，
CD與平面ABDE所成角的正弦值為．
∴、B（0，0，0）、E（2，0，1）、D（0，0，2），
從而=（2，0，1），=，．（8分）
設(shè)為平面BCE的法向量，
則可以取（10分）
設(shè)為平面CDE的法向量，
則取（11分）
因此，，（13分）
故二面角D-EC-B的余弦值為（14分）
點(diǎn)評：本題考查在線段DC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥面DBC的判斷和求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．注意向量法的合理運(yùn)用．