Question

過定點(diǎn)A（3，4）任作互相垂直的兩條線l₁與l₂，且l₁與x軸交于M點(diǎn)，l₂與y軸交于N點(diǎn)，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

專題：直線與圓

分析：通過當(dāng)l₁不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)l₁：y-4=k（x-3），l₂：y-4=-

1

k

（x-3）求出M（3-

4

k

，0），求出N（0，4+

3

k

）
設(shè)MN的中點(diǎn)P（x，y），消去k得軌跡方程，當(dāng)l₁平行于坐標(biāo)軸時(shí)，判斷是否滿足方程即可．

解答： （本小題滿分12分）
解：當(dāng)l₁不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)l₁：y-4=k（x-3）…①
則k≠0，∴l(xiāng)₂：y-4=-

1

k

（x-3）…②
在①中令y=0得，M（3-

4

k

，0），在②中令x=0得，N（0，4+

3

k

）
設(shè)MN的中點(diǎn)P（x，y），則

x= 3 2 - 2 k y=2+ 3 2k

消去k得，6x+8y-25=0，
當(dāng)l₁平行于坐標(biāo)軸時(shí)，MN的中點(diǎn)為（

3

2

，2）也滿足此方程．
∴P點(diǎn)的軌跡方程為6x+8y-25=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，注意直線的斜率是否存在是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．