Question

已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

Answer 1

證明：先證必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再證充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=，
∴a+b-1=0，即a+b=1
綜上所述：a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0
分析：我們先假設(shè)，a+b=1再證明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命題的必要性，再假設(shè)a³+b³+ab-a²-b²=0再證明a+b=1成立，即充分性，如果兩者均成立，即可得到a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的證明，本類問題的處理一共分為三步：①證明必要性，②證明充分性，③得到結(jié)論．