Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC與△A₁B₁C₁都為正三角形且AA₁⊥面ABC，F(xiàn)、F₁分別是AC，A₁C₁的中點(diǎn)．
求證：
（1）平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵F、F₁分別是AC、A₁C₁的中點(diǎn)，
∴B₁F₁∥BF，AF₁∥C₁F．
又∵B₁F₁∩AF₁=F₁，C₁F∩BF=F，
∴平面AB₁F₁∥平面C₁BF．
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴B₁F₁⊥AA₁．
又B₁F₁⊥A₁C₁，A₁C₁∩AA₁=A₁，
∴B₁F₁⊥平面ACC₁A₁，而B(niǎo)₁F₁?平面AB₁F₁，
∴平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．
分析：（1）利用面面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面、面面垂直的判定定理即可證明．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握面面平行的判定定理、線面與面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．