Question

設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有三個數(shù)，若對任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、 （除數(shù)b≠0 ），則稱P是一個數(shù)域．
例如：有理數(shù)集Q 是數(shù)域，實數(shù)集R也是數(shù)域．
（1）求證：整數(shù)集Z不是數(shù)域；
（2）求證：數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；
（3）若有理數(shù)集Q⊆M，那么數(shù)集M 是否一定為數(shù)域？說明理由．

Answer 1

證明：（1）若整數(shù)集Z是數(shù)域，…（1分）
則由1∈Z，2∈Z，得∈Z，…（3分）
與 Z矛盾． …（4分）
故整數(shù)集Z是數(shù)域不可能，即整數(shù)集Z不是數(shù)域 …（5分）
（2）設(shè)P是一個數(shù)域，a，b∈P，a≠b，ab≠0
則

所以 …（8分）
同理可得， …（9分）
所以-1+1=0∈P …（10分）
故數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)
（3）數(shù)集M
不一定為數(shù)域． …（11分）
例如：①若M=R，則Q⊆M，且M 是數(shù)域； …（12分）
②若M={x|x∈Q，或 }則Q⊆M，但M 不是數(shù)域；…（13分）
假設(shè)M是數(shù)域，則由-1∈M，∈M，得

所以 與 矛盾!…（15分）
綜上所述：數(shù)集M 不一定為數(shù)域． …（16分）
分析：本題考查的主要知識點是新定義概念的理解能力．我們可根據(jù)已知中對數(shù)域的定義：設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個數(shù)域，對3個命題逐一進(jìn)行判斷證明即可．
點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運算的定義，將已知中的3個命題代入進(jìn)行檢驗，要滿足對四種運算的封閉，只有一個個來檢驗，如（1）對除法如 不滿足，所以排除．