Question

13．己知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x² （a∈R）．
（Ⅰ）求a=l時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論f（x）在定義域上的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的極值判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$-x，
a=1時，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a{-x}^{2}}{x}$，
（1）a＜0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，
x→0時，f（x）→+∞，x→+∞時，f（x）→-∞，
故f（x）在（0，+∞）上只有1個零點(diǎn)，
（2）a=0時，f（x）＜0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）沒有零點(diǎn)，
（3）a＞0時，x∈（0，$\sqrt{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞增，
x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（$\sqrt{a}$，+∞）遞減，
故x=$\sqrt{a}$時，f（x）取極大值f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a}{2}$（lna-1），
①a=e時，極大值是f（$\sqrt{a}$）=0，f（x）在（0，+∞）上有1個零點(diǎn)，
②0＜a＜e時，極大值f（$\sqrt{a}$）＜0，f（x）在（0，+∞）沒有零點(diǎn)，
③a＞e時，極大值是f（$\sqrt{a}$）＞0，
x→0時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→-∞，
故f（x）在（0，+∞）2個零點(diǎn)，
綜上，0≤a＜e時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，
a＜0或a=e時函數(shù)1個零點(diǎn)，a＞e時，函數(shù)2個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．