如圖,四邊形ABCD中,為正三角形,,,AC與BD交于O點.將沿邊AC折起,使D點至P點,已知PO與平面ABCD所成的角為,且P點在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi).
(Ⅰ)求證:平面PBD;
(Ⅱ)若時,求二面角的余弦值。
(1)取BD中點Q,證得Q與O重合。則面PBD
(2)
【解析】
試題分析:(1)取BD中點Q,則三點共線,即Q與O重合。
則面PBD
(2)因為AC面PBD,而面ABCD,所以面ABCD面PBD,則P點在面ABCD上的射影點在交線BD上(即在射線OD上),所以PO與平面ABCD所成的角。以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為軸,OB為軸建空間直角坐標(biāo)系。,因為AC面PBD,所以面PBD的法向量,設(shè)面PAB的法向量,又,由,得①,又,由,得
②, 在①②中令,可得,則
所以二面角的余弦值
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計算,空間向量的應(yīng)用。
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題,是解決立體幾何問題的一個基本思路。通過就落實黨的坐標(biāo)系,利用空間向量,免去了繁瑣的邏輯推理過程,對計算能力要求較高。
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