Question

已知ABCD是正方形，直線AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，
（1）求異面直線AC，DE所成的角；
（2）求二面角A-CE-D的大小；
（3）設(shè)P為棱DE的中點(diǎn)，在△ABE的內(nèi)部或邊上是否存在一點(diǎn)H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出點(diǎn)H的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求向量的夾角的余弦值，再求異面直線所成的角；
（2）先求出兩個(gè)平面的法向量，再利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求二面角的余弦值，可求得二面角；
（3）假設(shè)在平面ABE內(nèi)存在點(diǎn)H，設(shè)H（m，0，n），

PH

=（m，-

1

2

，n-

1

2

），再根據(jù)PH⊥平面ACE，確定m、n的值，根據(jù)

PH

的坐標(biāo)表示確定H的位置．

解答：解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

∵AB=AE=1，四邊形ABCD為正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．

AC

=（1，1，0），

DE

=（0，-1，1），
cos＜

AC

，

DE

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
故異面直線AC，DE所成的角為

π

3

；
（2）取DE的中點(diǎn)P，則P（0，

1

2

，

1

2

），連接AP，∵直線AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，又四邊形ABCD為正方形，CD⊥AD，
∴AP⊥平面CDE，∴

AP

為平面CDE的法向量；
∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴

BD

為平面ACE的法向量，

AP

=（0，

1

2

，

1

2

），

BD

=（-1，1，0），
cos＜

AP

，

BD

＞=

1 2

2 2 × 2

=

1

2

．
故二面角A-CE-D為

π

3

．
（3）假設(shè)在平面ABE內(nèi)存在點(diǎn)H，設(shè)H（m，0，n），

PH

=（m，-

1

2

，n-

1

2

），
∵PH⊥平面ACE，AC?平面ACE，
∴PH⊥AC，PH⊥AE，∴

PH

•

AC

=m-

1

2

=0⇒m=

1

2

；

PH

•

AE

=n-

1

2

⇒n=

1

2

，
即H（

1

2

，0，

1

2

），∵

BH

=

1

2

BE

，H為B、E的中點(diǎn)．
故存在點(diǎn)H，H為B、E的中點(diǎn)，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求異面直線所成的角，求二面角，解決存在性問題，解題的關(guān)鍵合理建立空間直角坐標(biāo)系．