Question

19、如圖，在直角梯形ABEF中，將四邊形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一個(gè)空間幾何體．
（1）求證：BE∥平面ADF；
（2）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊之后BC∥AD，CE∥DF的關(guān)系不變，根據(jù)線面平行的判定定理可得：BC∥平面ADF；CE∥平面ADF，再根據(jù)面面平行的判定兩點(diǎn)可得面面平行，進(jìn)而得到線面平行．
（2）由∠FDA=60°，并且DF=2，AD=1，可得：AF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD．取AF的中點(diǎn)G，連接GB，可得GB∥EF，并且直線EF與平面ABCD所成角與直線GB與平面ABCD所成角相等．由GA⊥平面ABCD，可得∠GBA為所求角．再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可．

解答：解：（1）證明：由已知條件可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關(guān)系不變，
因?yàn)锽C?平面ADF，AD?平面ADF，
所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF．
又∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴BE∥平面ADF．
（2）因?yàn)椤螰DA=60°，并且DF=2，AD=1，
所以AF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD．
取AF的中點(diǎn)G，連接GB，
因?yàn)镈F=2，BE=1，
所以GB∥EF，所以直線EF與平面ABCD所成角與直線GB與平面ABCD所成角相等．
因?yàn)镚A⊥平面ABCD，所以∠GBA為所求角．
在△GAB中，AB=1，AG=1，∠GAB=90°，
所以∠GBA=45°，即直線EF與平面ABCD所成角的正切值的大小為1．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，線面角的求解，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．