Question

已知矩形ABCD，過(guò)A作SA⊥平面AC，再過(guò)A作AE⊥SB交于E，過(guò)E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求證：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.

Answer 1

解析：欲證AF⊥SC，只需證SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲證SC⊥平面AEF，只需證AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需證AE⊥BC，而要證AE⊥BC，只需證BC⊥平面SAB，而這可由已知得證.

證明：

(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC

∴SA⊥BC.∵矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE，又SB⊥AE

∴AE⊥平面SBC

∴AE⊥SC，又EF⊥SC

∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC

∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF

∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.