Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

2

an+2，a₁=2．
（1）求證：數(shù)列{a_n-4}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)a_n+1=

1

2

an+2構(gòu)造，變形得出a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），得出數(shù)列{a_n-4}是等比數(shù)列；
（2）通過等比數(shù)列{a_n-4}的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，先分組再利用公式計(jì)算化簡
（3）利用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式化簡

an+1＞2an-m an+1＞m

，結(jié)合正整數(shù)m，n，采用驗(yàn)證的方法可以得出m，n的存在性．

解答：解：（1）在a_n+1=

1

2

an+2兩邊減去4，得a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），所以數(shù)列{a_n-4}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n-4}首項(xiàng)為a₁-4=-2，數(shù)列{a_n-4}的通項(xiàng)公式為a_n-4=-2×(

1

2

)n-1，
∴a_n=-2×(

1

2

)n-1+4，
∴S_n=

-2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+4n=2^2-n+4n-4．
（3）

an+1＞2an-m an+1＞m

，即為

4-2×( 1 2 )n＞8-4×( 1 2 )n-1-m① 4-2×( 1 2 )n＞m②

由②知，n=1時(shí)，m＜3，∴m=1，代入①不成立，m=2，代入①成立．
所以存在正整數(shù)m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立，此時(shí)m=2，n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式，數(shù)列求和．考查推理論證，運(yùn)算求解能力．