Question

17．已知圓C：（x-3）²+y²=4，過原點的直線與圓C相交于A、B兩點，則A、B兩點中點M的軌跡方程是x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的特殊性，設圓心為C，則有CM⊥AB，當斜率存在時，k_CMk_AB=-1，斜率不存在時加以驗證．

解答 解：設圓x²+y²-6x+5=0的圓心為C，則C的坐標是（3，0），由題意，CM⊥AB，
①設M（x，y），當直線CM與AB的斜率都存在時，即x≠3，x≠0時，則有k_CMk_AB=-1，
∴$\frac{y}{x-3}$×$\frac{y}{x}$=-1（x≠3，x≠0），
化簡得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②當x=3時，y=0，點（3，0）適合題意，
③當x=0時，y=0，點（0，0）不適合題意，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-3x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{5}{3}$，y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴點M的軌跡方程是：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．
故答案為：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

點評 本題主要考查軌跡方程的求解，應注意利用圓的特殊性，同時注意所求軌跡的純粹性，避免增解．