設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=sinnωx+cosnωx（ω＞0，n∈N*）的最小正周期為T．
（1）若n=1，f（1）=1，求T的最大值；
（2）若n=4，T=4，求f（1）的值．

解（1）當(dāng)n=1，f（1）=1時(shí)，sinω+cosω=1（ω＞0），
化簡(jiǎn)得，…2分
因?yàn)棣兀?，所以，即，
所以，T的最大值為8．…6分
（2）當(dāng)n=4時(shí)，f（x）=sin4ωx+cos4ωx
=（sin2ωx+cos2ωx）2-2sin2ωxcos2ωx
=1-2（sinωxcosωx）2
=
=
=（ω＞0），…10分
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536008.png' />，所以，…12分
此時(shí)，，所以．…14分
分析：（1）通過(guò)n=1，f（1）=1，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出ω的最小值，利用函數(shù)的周期，求T的最大值；
（2）通過(guò)n=4，利用平方關(guān)系式二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，T=4，求出ω，然后求f（1）的值．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)周期、二倍角等公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠
π
2
時(shí)，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當(dāng)x∈[-
π
2
，
π
2
]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時(shí)，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對(duì)任意的x都成立；②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m是常數(shù)）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則（　�。�
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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