Question

已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（Ⅰ）若

OC

∥

AB

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求角α的值；
（Ⅱ）若

AC

⊥

BC

，求

1+ 2 sin(2α- π 4 )

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得角α的值；
（Ⅱ）將所求關(guān)系式中的“切”化“弦”，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理即可求得答案．

解答：解：依條件有

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
（Ⅰ）由

OC

∥

AB

，得（cosα，sinα）∥（-3，3）⇒-3cosα-3sinα=0，
所以，tanα=-1，
α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α=

3π

4

．
（Ⅱ）由

AC

⊥

BC

得

AC

•

BC

=0，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
解得sinα+cosα=

1

3

，兩邊平方得2sinαcosα=-

8

9

，
所以，

1+ 2 sin(2α- π 4 )

1+tanα

=

sin2α+1-cos2α

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα+2sin2α

cosα+sinα

•cosα
=2sinαcosα=-

8

9

．
因此，原式=

8

9

-．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查化歸運(yùn)算能力，屬于中檔題．