Question

已知函數f（x）=（x²+ax+3）e^x（x，a∈R）
（1）當a=0時，求函數f（x）的圖象在A（1，f（1））處的切線方程．
（2）若函數y=f（x）為單調函數，求實數a的取值范圍．
（3）當a=-3時，求f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，進而得到切線方程；
（2）得出f′（x），函數y=f（x）為單調函數，則△≤0；
（3）得出f′（x），利用導數與函數的單調性、極值的關系即可得出．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=（x²+3）e^x，∴f′（x）=（x²+2x+3）e^x，∴f′（1）=6e，
而f（1）=4e，∴函數f（x）的圖象在A（1，f（1））處的切線方程為y-4e=6e（x-1），化為y=6ex-2e．
（2）∵f′（x）=[x²+（a+2）x+a+3]e^x，及函數y=f（x）為單調函數，
∴△=（a+2）²-4（a+3）≤0，解得-2

2

≤a≤2

2

．
（3）當a=-3時，f（x）=（x²-3x+3）e^x，
∴f′（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，1．
列表如下：
由表格可知：當x=1時，函數f（x）取得極小值，
且f（1）=e．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值是解題的關鍵．