Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，且滿足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為常數(shù)列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若數(shù)列{}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項a₁應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

解：（1）當n≥2時，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×=n²-n，又當n=1時此式也成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項為．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴對任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，，，
且對任意的n∈N^*，有=，
設(shè)c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+=7（n≥0）．
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．
記，則==，
（其中n=6k+i，k≥0，i為{1，2，3，4，5，6}中的一個常數(shù)），
當時，對任意的n=6k+i有；
當時，f_k+1-f_k=
=
=，
①若，則對任意的k∈N有f_k+1＜f_k，數(shù)列{}為單調(diào)減數(shù)列；
②若，則對任意的k∈N有f_k+1＞f_k，數(shù)列{}為單調(diào)增數(shù)列；
綜上，當且i∈{1，2，3，4，5，6}時，數(shù)列{}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次
當i=1時，符合要求；當i=2時，符合要求，
此時的；
當i=3時，符合要求，
此時的，；
當i=4時，=符合要求，
此時的；
當i=5時，符合要求，
此時的；
當i=6時，符合要求，
此時的a₁=a₆-b₅-b₄-b₃-b₂-b₁=；
即當a₁∈{，，，，}時，
數(shù)列{}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．
分析：（1）利用“累加求和”和等差數(shù)列的前n項和公式即可求出；
（2）通過已知條件先探究數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列，進而即可證明數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
（3）由條件探索出：數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，求出，及其單調(diào)性，通過對a_i分類討論即可得出結(jié)論．
點評：熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式、“累加求和”、探究數(shù)列{b_n}是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列、數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，求出并探究其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．注意分類討論思想方法的運用，本題較好的考查了學(xué)生的探究能力和計算能力，本題有一點的難度．