Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）要求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域，我們可根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）要判斷f（x）+g（x）的奇偶性，我們根據(jù)奇偶性的定義，先判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再判斷f（-x）+g（-x）與f（x）+g（x）的關(guān)系，結(jié)合奇偶性的定義進行判斷；
（3）若f（x）-g（x）＞0，則我們可以得到一個對數(shù)不等式，然后分類討論底數(shù)取值，即可得到不等式的解．

解答：解：（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意義，則

x+1＞0 1-x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定義域為{x|-1＜x＜1}
（2）設F（x）=f（x）+g（x），
則F（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x）．
所以f（x）+g（x）是偶函數(shù)．
（3）f（x）-g（x）＞0，
即log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
當0＜a＜1時，上述不等式等價于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

解得-1＜x＜0．
當a＞1時，原不等式等價于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，
解得0＜x＜1．
綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．

點評：求函數(shù)的定義域時要注意：（1）當函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）對于（4）題要注意：①對在同一對應法則f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍．