Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8．
（1）若m=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=2時，函數(shù)f（x）=）=2^|x-2|，由此可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集，再分4≤m≤8、m＞8、0＜m＜4、m≤0四種情況，分別求出實數(shù)m的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（1）m=2時，函數(shù)f（x）=）=2^|x-2|，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2）；
（2）f（x）=

2x-m，x≥m 2m-x，x＜m

，則f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集．
①當(dāng)4≤m≤8時，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，故f（x）≥f（4）=2^m-4 ，
g（x）在[4，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或8≥m≥6．
②當(dāng)m＞8時，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，

m

2

]單調(diào)增，[

m

2

，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，g（4）=6m-24＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得m≥8
③0＜m＜4時，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．
④m≤0時，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，在[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
綜上，m的取值范圍是[

7

2

，5]∪[6，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．