Question

如圖，已知橢圓+=1（a＞0）上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），x軸上兩點(diǎn)M（1，0），N（-1，0）．
（1）若tan∠ANM=-2，tan∠AMN=，求該橢圓的方程；
（2）若=-2，且0＜x₁＜x₂，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)tan∠ANM=-2，tan∠AMN=，得直線AM和AN的直線方程，將此二方程聯(lián)立解得x和y，可知點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)A在橢圓上，求得a，進(jìn)而求得橢圓方程可得．
（2）利用向量的坐標(biāo)公式得出，的坐標(biāo)，結(jié)合條件=-2得出坐標(biāo)間的關(guān)系，又根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程得出x₁-2x₂=-a²，從而建立建立a的不等關(guān)系，求得a的取值范圍，即可解得橢圓的離心率e的取值范圍．
解答：解：（1）由題意得，直線AN的斜率k₁=tan∠ANM=-2，AM的斜率k₂=-tan∠AMN=-，
所以直線AN的方程為y=-2（x+1），同理直線AM的方程為：y=-（x-1），
聯(lián)立兩直線方程，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，），
因為A在橢圓上，所以+=1，a²=5，
∴該橢圓的方程+=1；
（2）=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∵若=-2，∴即．
又∵+=1①；+=1②；
∴①-②×4得：（x₁+2x₂）（x₁-2x₂）=-3a²，
∴x₁-2x₂=-a²，從而x₁=（3-a²），x₂=（3+a²），
∵0＜x₁＜x₂，∴（3-a²）＞0，（3-a²）＜（3+a²），
解得：1＜a＜，
e²=∈（，），
∴e∈（，），
∴橢圓的離心率e的取值范圍（，）．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力．