Question

E、F是橢圓的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的準(zhǔn)線，點(diǎn)，則的最大值是 (   )

    A．15°             B．30°             C．45°             D．60°

Answer 1

B

解析:

思路一：不妨設(shè)l是右準(zhǔn)線，點(diǎn)P在x軸上方（如

圖所示），則l的方程為，故可設(shè)點(diǎn)P為，記，由PE到PF的角為，得. 又知

，代入上式并化簡(jiǎn)，得.

由假設(shè)知，所以.由基本不等式得，所以的最大值為30°，當(dāng)時(shí)取得最大值.故選B.

思路二：如上圖，設(shè)，則

,  因?yàn)?img border=0 width=67 height=41 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/128/334728.gif" >，所以

的最大值為30°，故選B.

思路三：由面積的兩種表示方法，即，得

，因?yàn)?img border=0 width=13 height=19 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/113/334713.gif" >為銳角，所以的最大值為30°，故選B.

思路四：依題意，經(jīng)過E、F且與橢圓的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)P的圓，使最大。如圖，

不妨設(shè)是右準(zhǔn)線，點(diǎn)P在x軸上方，則準(zhǔn)線方程為，

易得圓心C的坐標(biāo)為，因此點(diǎn)

使最大。又PE、PF的斜率分別為、，

設(shè)準(zhǔn)線軸于點(diǎn)A，則，

此時(shí).