Question

已知頂點在原點、焦點F在y軸正半軸上的拋物線Q₁過點（1，2），拋物線Q₂與Q₁關(guān)于x軸對稱，
（Ⅰ）求拋物線Q₂的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線Q₁于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），過A，B分別作Q₁的切線l₁，
l₂，記直線l₁與Q₂的交點為M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），求證：拋物線Q₂上的點S（s，t）若滿足條件m₂s=4，則S恰在直線l₂上。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線Q₁的方程為x²=2py（p＞0），
由過點（1，2）得4=2p，解得p=2，
∴Q₁：x²=4y，
拋物線Q₂與Q₁關(guān)于x軸對稱，故拋物線Q₂的方程為x²=-4y；
（Ⅱ）由題意知AB的斜率必存在且過焦點，
設(shè)AB：y=kx+1，聯(lián)立消y得x²-4kx-4=0，
根據(jù)韋達定理有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵拋物線Q₁的方程為，
∴，
∴，
，
∴，同理可得l₂：，
∵N（m₂，n₂）在直線l₁上，且，
∴，
，
∴
代入上式得，
兩邊同乘以，得，
而，故有，
即S（s，t）滿足l₂的方程，
故點S恰在直線l₂上。