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底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=
3
，BC=1，PA=2，側棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．
（1）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示
可得B(
3
，0，0)、C(
3
，1，0)、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E(0，
1
2
，1)，
從而
AC
=(
3
，1，0)，
PB
=(
3
，0，-2)．
設
AC
與
PB
的夾角為θ，則
cosθ=
AC
•
PB
|
AC
|•|
PB
|
=
3
2
7
=
3
7
14
，
∴AC與PB所成角的余弦值為
3
7
14

（Ⅱ）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x，0，z），
則
NE
=(-x，
1
2
，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，
NE
•
AP
=0
NE
•
AC
=0
，即
(-x，
1
2
，1-z)•(0，0，2)=0
(-x，
1
2
，1-z)•(
3
，1，0)=0

化簡得
z-1=0
-
3
x+
1
2
=0
，即
x=
3
6
z=1
，可得N點的坐標為(
3
6
，0，1)，
從而側面PAB內存在點N，使NE⊥面PAC，N點到AB和AP的距離分別為1，
3
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點.求證：MN⊥平面PCD.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點。
（1）證明：；
（2）求以為軸旋轉所圍成的幾何體體積。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，△PAC與△ABC是均以AC為斜邊的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，G為OC的中點，且PO⊥平面ABC．
（1）證明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
π
2
，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且
SE
=
1
3
SD
，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，E，F分別為線段PB，PC的中點，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直線EC和面PAD所成的角
（2）求點P到平面AFD的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點，E為BC1的中點
（1）求證：OE∥平面A1AB；
（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=
1
2
PA，F為PA的中點．
（I）求證：DF∥平面PEC
（II）若PE=
2
，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=
2
，∠ABD=90°，將它們沿對角線BD折起，折后的點C變?yōu)镃1，且AC1=2．
（1）求證：平面ABD⊥平面BC1D；
（2）E為線段AC1上的一個動點，當線段EC1的長為多少時，DE與平面BC1D所成的角為30°？

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