Question

直線l與拋物線y²=ax（a＞0）交于A、B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)O的充要條件是（　�。�

A．|OA|=|OB|

B．AB垂直x軸

C．l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F₁

D．l過定點(diǎn)Q（a，o）

Answer 1

分析：設(shè)l方程為x=ty+m與拋物線方程聯(lián)立得y²-aty-am=0，利用以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)的充要條件．

解答：解：設(shè)l方程為x=ty+m聯(lián)立

x=ty+m y2=ax

得y²-aty-am=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則

y1+y2=at y1y2=-am

∴x₁x₂=

y 2 1

a

•

y 2 2

a

=m²，
∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-am=0，∴m=a，∴Q的坐標(biāo)為（a，0）．
反之，當(dāng)l過定點(diǎn)Q（a，0）時，同樣可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)O．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、必要條件、充分條件與充要條件的判斷，同時考查恒過定點(diǎn)問題，注意挖掘題目隱含，將問題等價轉(zhuǎn)化．