Question

與橢圓

x2

64

+

y2

16

=1共焦點(diǎn)且以x±

3

y=0為漸近線的雙曲線方程為

x2

36

-

y2

12

=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓基本量的關(guān)系，算出橢圓的焦點(diǎn)為（±4

3

，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)．設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由漸近線的公式得出a=

3

b，結(jié)合a²+b²=48解出a、b之值，即可得到所求雙曲線的方程．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

64

+

y2

16

=1
∴c=

64-16

=4

3

，
可得橢圓的焦點(diǎn)為（±4

3

，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)
設(shè)所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵雙曲線以x±

3

y=0為漸近線
∴

b

a

=

3

3

，可得a=

3

b
又∵a²+b²=48，
∴4b²=48，可得b²=12，從而a²=3b²=36
因此所求雙曲線的方程為

x2

36

-

y2

12

=1
故答案為：

x2

36

-

y2

12

=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線以x±

3

y=0為漸近線，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．