Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F（1，0），離心率為e．
（1）若e=

2

2

，求橢圓方程；
（2）設(shè)直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF，BF的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上．
（i）將k表示成e的函數(shù)；
（ii）當(dāng)e∈(

2

2

，

3

2

]時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F（1，0），e=

2

2

，建立方程，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓方程；
（2））（i）直線y=kx（k＞0）與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，可得

OM

•

ON

=

1

4

[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0，化簡可得結(jié)論；
（ii）當(dāng)e∈(

2

2

，

3

2

]時(shí)，結(jié)合（i）的結(jié)論，即可求k的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F（1，0），e=

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

∴c=1，a=

2

∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）（i）直線y=kx（k＞0）與橢圓方程聯(lián)立，可得

x2

a2

+

(kx)2

b2

=1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=-

a2b2 b2+a2k2

，x₂=

a2b2 b2+a2k2

∴y₁=-k•

a2b2 b2+a2k2

，y₂=k•

a2b2 b2+a2k2

∵坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上
∴

OM

•

ON

=

1

4

[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0
∴(-

a2b2 b2+a2k2

+1)(

a2b2 b2+a2k2

+1)-k2•

a2b2 b2+a2k2

•

a2b2 b2+a2k2

=0
∴k2=

b2-a2b2

a2b2-a2

∴k=±

1-e2

2e2-1

；
（ii）∵e∈(

2

2

，

3

2

]，∴2e2-1∈(0，

1

2

]
設(shè)

2e2-1

=t，則t∈(0，

2

2

]
∴k=±

1-t2

2t

，∴|k|=

1-t2

2t

∵t∈(0，

2

2

]，∴

1-t2

2t

∈[

2

4

，+∞)
∴k≥

2

4

或k≤-

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．