設(shè)a,b均為正數(shù),
(Ⅰ)求證:
ab
2
1
a
+
1
b
;
(Ⅱ)如果依次稱
a+b
2
、
ab
、
2
1
a
+
1
b
分別為a,b兩數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù).如右圖,C為線段AB上的點(diǎn),令A(yù)C=a,CB=b,O為AB的垂線交半圓于D.連結(jié)OD,AD,BD.過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線,垂足為E.圖中線段OD的長(zhǎng)度是a,b的算術(shù)平均數(shù),請(qǐng)分別用圖中線段的長(zhǎng)度來(lái)表示a,b兩數(shù)的幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù),并說(shuō)明理由.
分析:(I)由于a,b均為正數(shù),根據(jù)基本不等式,可得
1
a
+
1
b
2
1
a
×
1
b
=
1
ab
,即可得出
ab
2
1
a
+
1
b
;
(II)在直角三角形中,由DC為高,根據(jù)射影定理可得CD2=AC•CB,變形兩邊開方,得到CD長(zhǎng)度為a,b的幾何平均數(shù);根據(jù)在直角三角形OCD中,由射影定理可得CD2=DE•CB,得到DE的長(zhǎng),再由DC≥DE,得到結(jié)果.
解答:解:(I)證明:由于a,b均為正數(shù),根據(jù)基本不等式,可得
1
a
+
1
b
2
1
a
×
1
b
=
1
ab
,即
ab
2
1
a
+
1
b
,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
(II)在Rt△ADB中DC為高,則由射影定理可得CD2=AC•CB,
∴CD=
ab
,即CD長(zhǎng)度為a,b的幾何平均數(shù),
在直角三角形OCD中,由射影定理可得CD2=DE•OD,
∴DE=
DC2
OD
=
ab
a+b
2
=
2
1
a
+
1
b
,由DC≥DE,得
ab
2
1
a
+
1
b
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,
∴線段DE的長(zhǎng)度分別為a,b的調(diào)和平均數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)新定義問(wèn)題,解題過(guò)程中主要應(yīng)用直角三角形邊之間的比例關(guān)系,得到比例式,本題是一個(gè)平面幾何與代數(shù)中的平均數(shù)結(jié)合的問(wèn)題,是一個(gè)綜合題.
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(Ⅰ)求證:;
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