Question

16．已知向量$\vec a=（2，-n）$，$\vec b=（{s_n}，n+1）$，n∈N^*，其中s_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若$\vec a⊥\vec b$，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{{{a_{n+1}}{a_{n+4}}}}}\right\}$的最大項的值為$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由$\vec a⊥\vec b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，可得s_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，利用遞推關(guān)系可得a_n．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\vec a⊥\vec b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2s_n-n（n+1）=0，
∴s_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴當n=1時，a₁=1；
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．
當n=1時也成立，∴a_n=n．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n+4}}$=$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{2\sqrt{4}+5}$=$\frac{1}{9}$，當且僅當n=2時取等號．
故答案為：$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、遞推關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．