Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD⊥CD，且2AB=AD=CD=2．四邊形ADEF為正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD．連FC，M為FC中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求證：FC⊥AE；
（3）求三棱錐F-BDM的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)FD∩AE=O，連MO，可得OMDC，即可得到ABOM．可得四邊形ABMO為平行四邊形，所以BM∥AO，再根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得：CD⊥平面ADEF，即可得到CD⊥AE，在正方形ABCD中，F(xiàn)D⊥AE，再利用線面垂直的判定定理可得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直．
（3）由面面垂直的性質(zhì)定理可得：FA⊥平面ABCD，即可得到點(diǎn)F到平面ABCD距離為FA=2，進(jìn)而得到點(diǎn)M到平面ABCD距離為1，再結(jié)合題意分別求出V_F-ABCD，V_F-ABD，V_M-BCD，進(jìn)而求出答案．
解答：證明：（1）設(shè)FD∩AE=O，連MO．
∵M(jìn)、O分別為FC、FD的中點(diǎn)，
∴OMDC，
又∵ABDC，
∴ABOM．…2分
∴四邊形ABMO為平行四邊形．
∴BM∥AO，
∵AO?平面ADEF，BM?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．…4分
（2）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF．…6分
∴CD⊥AE，
在正方形ABCD中，F(xiàn)D⊥AE，
∴AE⊥平面CDF，
又∵AE?平面CDF，
∴FC⊥AE．…9分
（3）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
∴點(diǎn)F到平面ABCD距離為FA=2
又∵M(jìn)為FC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M到平面ABCD距離為FA=1
∴V_F-ABCD=（1+2）•2•2=2，V_F-ABD=，V_M-BCD=，
∴V_F-BDM=V_F-ABCD-V_F-ABD-V_M-BCD=2-．…14分．
點(diǎn)評：本題主要考查線面平行、線線垂直與幾何體的體積，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行證明，并且也有利于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離、線面平行、線線垂直等問題．