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1.為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某校舉行詩(shī)詞大賽.經(jīng)過層層選拔,最終甲乙兩人進(jìn)入決賽,爭(zhēng)奪冠亞軍.決賽規(guī)則如下:①比賽共設(shè)有五道題;②比賽前兩人答題的先后順序通過抽簽決定后,雙方輪流答題,每次回答一道,;③若答對(duì),自己得1分;若答錯(cuò),則對(duì)方得1分;④先得 3 分者獲勝.已知甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為2334,且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立.
(Ⅰ)若乙先答題,求甲3:0獲勝的概率;
(Ⅱ)若甲先答題,記乙所得分?jǐn)?shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX.

分析 (I)設(shè)“乙先答題,甲3:0獲勝”為事件A,只能是答完3道題結(jié)束,此時(shí)乙答錯(cuò)2道題,甲答對(duì)1道題.
即可得出.
(II)由題意可得:X的可能取值為0,1,2,3.
①X=0時(shí),則答完3道題結(jié)束,此時(shí)乙答錯(cuò)1道題,甲答對(duì)2道題,此時(shí)甲得3分,乙得0分,即可得出.
②X=1,則答完4道題結(jié)束,此時(shí)共有一下3種情況:甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙錯(cuò);甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò);甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò).
③X=2,則第5次必須是甲答對(duì),此時(shí)共有一下6種情況:甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì);甲對(duì)乙對(duì)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì);甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì);甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)甲對(duì);甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì);甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì).
④X=3,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2).

解答 解:(I)設(shè)“乙先答題,甲3:0獲勝”為事件A,只能是答完3道題結(jié)束,此時(shí)乙答錯(cuò)2道題,甲答對(duì)1道題.
則P1=1342×23=124
(II)由題意可得:X的可能取值為0,1,2,3.
①X=0時(shí),則答完3道題結(jié)束,此時(shí)乙答錯(cuò)1道題,甲答對(duì)2道題,此時(shí)甲得3分,乙得0分,則P(X=0)=23×134×23=19
②X=1,則答完4道題結(jié)束,此時(shí)共有一下3種情況:甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙錯(cuò);甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò);
甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò).
∴P(X=1)=(1-23)×(1-34)×23×(1-34)+23×(1-34)×123×(1-34)+23×34×23×(1-34)=19
③X=2,則第5次必須是甲答對(duì),此時(shí)共有一下6種情況:甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì);甲對(duì)乙對(duì)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì);甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì);甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)甲對(duì);甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì);甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì).
∴P(X=2)=23×123×34×134×23×4+233×342+1232×1342×23=61216
④X=3,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-19-19-61216=107216
其分布列為:

 X 0 1 2 3
 P 19 1961216 107216
E(X)=0+1×19+2×61216+3×107216=467216

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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A.(2k-\frac{2}{3},2k+\frac{4}{3}),k∈ZB.(2kπ-\frac{2}{3}π,2kπ+\frac{4}{3}π),k∈Z
C.(4k-\frac{2}{3},4k+\frac{4}{3}),k∈ZD.(4kπ-\frac{2}{3}π,4kπ+\frac{4}{3}π),k∈Z

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