Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點，以AD長為單位長度，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）由

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，利用向量法能夠求出AC與PB所成的角．

解答：（Ⅰ）證明：因為PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，
以A為坐標原點，以AD長為單位長度，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，
如圖建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）．

AP

=（0，0，1），

DC

=（0，1，0），
∴

AP

•

DC

=0，∴AP⊥DC．
又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：∵

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
∴|

AC

|=

1+1+0

=

2

，|

PB

|=

0+4+1

=

5

，

AC

•

PB

=2，
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

2

2 • 5

=

10

5

．
∴AC與PB所成的角為arccos

10

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查空間中異面直線所成角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．