Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），a₁=1；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=na_n，求S_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閍_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），所以a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）（n∈N^*），
所以數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+n=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n．
（2）b_n=na_n=n2ⁿ-n²，設(shè)C_n=n2ⁿ，它的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①得，T_n=-2-（2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-．
分析：（1）通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）推出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出n2ⁿ的前n項(xiàng)和，然后求出S_n=b₁+b₂+…+b_n．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法和公式法求出數(shù)列前n項(xiàng)和，是解題的關(guān)鍵．