Question

如圖，橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，恒有

,求a的取值范圍.

Answer 1

解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，

        所以,即1＝，解得

        因此，橢圓方程為

        (Ⅱ)設

        ()當直線 AB與x軸重合時，

             

        ()當直線AB不與x軸重合時，

        設直線AB的方程為：

        整理得

             所以

        因為恒有，所以AOB恒為鈍角.

        即恒成立.

       

                   

又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0對mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²對mR恒成立.

當mR時，a²b²m²最小值為0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因為a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x軸時，

x=1代入

因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A²， y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x₁，_,y₁）, B（x₂，y₂）.

設直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k²- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,

所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k² 

=(1+k²).

由題意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0對kR恒成立.

①當a²- a² b²+b²>0時，不合題意；

②當a²- a² b²+b²=0時，a=;

③當a²- a² b²+b²<0時，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.