Question

(本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱中，AC=BC=1, AA_i=3  D為CC_i上的點(diǎn)，二面角A-A₁B-D的余弦值為

(I )求證：CD=2;

(II)求點(diǎn)A到平面A₁BD的距離.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，A₁B₁中點(diǎn)G，連結(jié)EG，交A₁B于F，連結(jié)CE、C₁G，作DM⊥GE于M．

∵平面C₁GEC⊥平面A₁ABB₁，∴DM⊥平面A₁ABB₁．

作MN⊥A₁B于N，連結(jié)DN，則MN為DN在平面A₁ABB₁上的射影，則∠DNM為二面角B₁-A₁B-D的平面角．……………………………………………………………4分

∴cos∠DNM＝，DM＝C₁G＝，∴MN＝．

∵sin∠MFN＝＝，∴MF＝，∴DC＝2．…………………………7分

（Ⅱ）在△A₁BD中，A₁D＝，BD＝，A₁B＝．

cos∠A₁DB＝＝－，sin∠A₁DB＝，

S△A₁BD＝A₁D·BDsin∠A₁DB＝，

又S△A₁AB＝××3＝，點(diǎn)D到面A₁AB的距離DM＝CE＝，

設(shè)點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為d，則

S△A₁BD·d＝S△A₁AB×，∴d＝．

故點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為．………………………………………………12分

【解析】略