Question

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax²+bx,a≠0.

(1)若b=2,且函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C₁與函數(shù)g(x)的圖象C₂交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N.證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

Answer 1

(1)解:b=2時,h(x)=lnx-ax²-2x,

     則h′(x)=-ax-2=-.

    因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h′(x)＜0有解.

    又因為x＞0,則ax²+2x-1＞0有x＞0的解.

    ①當(dāng)a＞0時,y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線,ax²+2x-1＞0總有x＞0的解;

    ②當(dāng)a＜0時,y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線,而ax²+2x-1＞0有x＞0的解,

    則Δ=4+4a＞0,且方程ax²+2x-1=0至少有一正根,此時,-1＜a＜0.

    綜上所述,a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).

(2)證明:設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是(x₁,y₁)、(x₂,y₂),0＜x₁＜x₂,

    則點M、N的橫坐標(biāo)為x=,

    C₁在點M處的切線斜率為k₁=,

    C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax+b=+b.

    假設(shè)C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行,則k₁=k₂,

    即=+b.

    則=(x₂²-x₁²)+b(x₂-x₁)

    =(x₂²+bx₂)-(x₁²+bx₁)

    =y₂-y₁=lnx₂-lnx₁.

    所以ln=.

    設(shè)t=,則lnt=,t＞1.                           ①

    令r(t)=lnt-,t＞1,

     則r′(t)=-=.

    因為t＞1時,r′(t)＞0,所以r(t)在［1,+∞)上單調(diào)遞增.

    故r(t)＞r(1)=0.則lnt＞.

    這與①矛盾,假設(shè)不成立.

    故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.