Question

（2010•九江二模）在平面直角坐標系中，定義

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

(n∈N)為點Pn(xn，yn)到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換為“γ變換”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是經(jīng)過“γ變換”得到的一列點．設a_n=|P_nP_n+1|，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，那么S₁₀的值為（　　）

• A．31(2-

  2

  )
• B．31(2+

  2

  )
• C．31(

  2

  +1)
• D．31(

  2

  -1)

Answer 1

分析：由題設可求p₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可尋求a_n與a_n-1的關系，來研究數(shù)列{a_n}的性質．再結合得出的性質求和計算．

解答：解：由題設知p₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且當n≥2時，
    a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
    a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

得 

xn=yn-1-xn-1 yn=yn-1+xn-1

   有

xn-1= yn-xn 2 yn-1=  yn+xn 2

代入①計算化簡得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=(

3xn-yn

2

)2+(

yn-xn

2

)2=

1

2

（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=

1

2

a_n²．
∴

an

an-1

=

2

，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以

2

為公比的等比數(shù)列，且首項a₁=1，
∴a_n=

2

^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1-( 2 )n

1- 2

，
∴S₁₀=

1-( 2 )10

1- 2

=31(

2

+1)
故選C

點評：本題是新定義類型，實際上考查了等比數(shù)列的判定與求和，考查推理、論證、計算能力．由已知，若依次求出數(shù)列{a_n}的前10項，再相加求和固然可行，但運算量較大，繁瑣．因此探求數(shù)列{a_n}的性質并利用得出的性質成為一種需求與自然．