（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動點，若將點P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到
2
倍后得到點Q（x，
2y
）滿足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-
2
2
的直線i交曲線C于M、N兩點，且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
（O為坐標(biāo)原點），試判斷點H是否在曲線C上，并說明理由．
分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用
AQ
•
BQ
=1，即可求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）求出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用
OM
+
ON
+
OH
=
0
，求得點H的坐標(biāo)代入曲線C的方程，驗證可得結(jié)論．
解答：解（1）依據(jù)題意，有
AQ
 =(x+1，
2
y)，
BQ
=(x-1，
2
y)．
∵
AQ
•
BQ
=1，∴x2-1+2y2=1．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是
x2
2
+y2=1．
（2）因直線l過點B，且斜率為k=-
2
2
，故有l(wèi)：y=-
2
2
（x-1）
聯(lián)立直線與橢圓，消元可得2x2-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點為M（x1，y1）、N（x2，y2），可得得 x1+x2=1，x1x2=-
1
2
，
于是 x1+x2=1，y1+y2=
2
2
．
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
，于是
OH
=（-x1-x2，-y1-y2），可得點H（-1，-
2
2
）．
將點H（-1，-
2
2
）的坐標(biāo)代入曲線C的方程的左邊，有
1
2
+
1
2
=1（=右邊），即點H的坐標(biāo)滿足曲線C的方程．
所以點H在曲線C上．
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）若0＜α＜
π
2
＜β＜π，sinα=
3
5
，sin（α+β）=
5
13
，則cosβ=
-
33
65
-
33
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，側(cè)面SAB為正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如圖所示．
（1）證明：SD⊥平面SAB；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積VS-ABCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x）=
2
π
|x-π| (x＞
π
2
)
sinx  (0≤x≤
π
2
)
關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數(shù)根，若α是四個根中的最大根，則sin（
π
3
+α）=
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*）．
（1）求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列{cn}滿足cn=
an3n
（n∈N*），試建立數(shù)列{cn}的遞推公式（要求不含an或bn）；
（3）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求Sn．

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