Question

在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），則x₁+x₂的值為________．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，求出三角形各頂點的坐標，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標，利用已知向量間的關系，待定系數(shù)法求λ₁和λ₂ 的值．
解答：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：則A（0，0），B （2，0），C（-，）．
∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線 m：x=1 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點（-，），AC的斜率為-3，∴中垂線n的方程為 y-=（x+）．
把直線 m和n 的方程聯(lián)立方程組解得△ABC的外心O（1，），由條件 =，
得（1， ）=x₁ （2，0）+x₂ （-，）=（2x₁-x₂， x₂ ），
∴2x₁-x₂=1， x₂=，∴x₁ =，x₂ =，∴x₁+x₂=，
故答案為：．

點評：本題考查求兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．