Question

如圖1所示，在四棱錐A-BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱錐的三視圖如圖2：

（1）求二面角B-AC-D的余弦值；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成45°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由AH⊥面BHCD及三視圖知：AH=BH=HC=1，取AC的中點M，過M作MN∥CD交AD于N，則∠BMN是所求二面角的平面角，由此能求出二面角B-AC-D的余弦值．
（2）假設在線段AC上存在點E合題意，令E在HC上的射影為F，設EF=x，則

x

1+x2

=1，矛盾．從而在線段AC上不存在一點E，使ED與面BCD成45°角．

解答： 解：（1）由AH⊥面BHCD及三視圖知：AH=BH=HC=1，
AB=BC=AC=

2

，AD=

3

，
取AC的中點M，過M作MN∥CD交AD于N，
則∠BMN是所求二面角的平面角，
BM=

6

2

，MN=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

…
cos∠BMN=

6

3

，
∴二面角B-AC-D的余弦值為

6

3

．
（2）假設在線段AC上存在點E合題意，
令E在HC上的射影為F，設EF=x（x∈[0，1]），
則

x

1+x2

=1，矛盾．
∴在線段AC上不存在一點E，使ED與面BCD成45°角．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．