Question

已知橢圓的上、下頂點分別為是橢圓上兩個不同的動點．

  (I)求直線與交點的軌跡C的方程；

  (Ⅱ)若過點F(0，2)的動直線z與曲線C交于A、B兩點，問在y軸上是否存在定點E，使得?若存在，求出E點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）方法一：設直線與的交點為，

∵是橢圓的上、下頂點，

∴…………………1分

，，

兩式相乘得.………………………3分

而在橢圓（）上，

所以，即，所以.……………4分

又當時，不合題意，去掉頂點.

∴直線與的交點的軌跡的方程是；……………5分

方法二：設直線與的交點為，

∵是橢圓的上、下頂點，

∴…………………1分

∵共線，共線，

∴…………①     ww..com                           

…………②…………………3分

①②得，

又∵即，

∴，即，

∴直線與的交點的軌跡的方程是；（）……………5分

（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線，由已知，其斜率一定存在，設其斜率為，

設，， ，

由得，

.…………………6分

，

∵，∴，

∵，∴，

∵，，

，

又∵，∴，

∴，

即.………………………8分

將，，代入上式并整理得，…………………9分

當時，，

當時，，恒成立，

…………………11分

所以，

在軸上存在定點，使得，點的坐標為．………12分

【解析】略