Question

已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．

  (I)求直線與交點(diǎn)的軌跡C的方程；

  (Ⅱ)若過點(diǎn)F(0，2)的動(dòng)直線z與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)E，使得?若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）方法一：設(shè)直線與的交點(diǎn)為，

∵是橢圓的上、下頂點(diǎn)，

∴…………………1分

，，

兩式相乘得.………………………3分

而在橢圓（）上，

所以，即，所以.……………4分

又當(dāng)時(shí)，不合題意，去掉頂點(diǎn).

∴直線與的交點(diǎn)的軌跡的方程是；……………5分

方法二：設(shè)直線與的交點(diǎn)為，

∵是橢圓的上、下頂點(diǎn)，

∴…………………1分

∵共線，共線，

∴…………①     ww..com                           

…………②…………………3分

①②得，

又∵即，

∴，即，

∴直線與的交點(diǎn)的軌跡的方程是；（）……………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線，由已知，其斜率一定存在，設(shè)其斜率為，

設(shè)，， ，

由得，

.…………………6分

，

∵，∴，

∵，∴，

∵，，

，

又∵，∴，

∴，

即.………………………8分

將，，代入上式并整理得，…………………9分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，恒成立，

…………………11分

所以，

在軸上存在定點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．………12分

【解析】略