Question

14．某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊所成角為60°（如圖所示），考慮到防洪堤的堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9$\sqrt{3}$m²，且髙度不低于$\sqrt{3}$m．問防洪堤橫斷面的腰長AB為多少時，橫斷面的外周長AB+BC+CD最小，并求最小外周長：

Answer 1

分析 先由橫斷面積用AB=x表示BC，從建立y關于x的函數關系式，定義域由線段必須大于零和高度不低于$\sqrt{3}$米，求解；求函數y的最小值，根據函數特點及條件可選用基本不等式解決．

解答 解：（1）設腰長AB=x，
即有9$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（AD+BC）h，其中AD=BC+2•$\frac{x}{2}$=BC+x，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴9$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（2BC+x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，得BC=$\frac{18}{x}$-$\frac{x}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{\sqrt{3}}{2}x≥\sqrt{3}}\\{BC=\frac{18}{x}-\frac{x}{2}＞0}\end{array}\right.$，得2≤x＜6，
∴y=BC+2x=$\frac{18}{x}$+$\frac{3}{2}$x（2≤x＜6），
由y=$\frac{18}{x}$+$\frac{3}{2}$x≥2$\sqrt{\frac{18}{x}•\frac{3x}{2}}$=6$\sqrt{3}$，
當并且僅當$\frac{18}{x}$=$\frac{3}{2}$x，即x=2$\sqrt{3}$時等號成立．
∴外周長AB+BC+CD的最小值為6$\sqrt{3}$米，此時腰長AB為2$\sqrt{3}$米．

點評 本題主要考查利用平面圖形建立函數模型以及解模的能力，考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．